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神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的每一類學(xué)習(xí)過(guò)程通常被歸納為一種訓(xùn)練算法。訓(xùn)練的算法有很多，它們的特點(diǎn)和性能各不相同。

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問(wèn)題的抽象
人們把神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)過(guò)程轉(zhuǎn)化為求損失函數(shù)f的最小值問(wèn)題。一般來(lái)說(shuō)，損失函數(shù)包括誤差項(xiàng)和正則項(xiàng)兩部分。誤差項(xiàng)衡量神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型在訓(xùn)練數(shù)據(jù)集上的擬合程度，而正則項(xiàng)則是控制模型的復(fù)雜程度，防止出現(xiàn)過(guò)擬合現(xiàn)象。

損失函數(shù)的函數(shù)值由模型的參數(shù)（權(quán)重值和偏置值）所決定。我們可以把兩部分參數(shù)合并為一個(gè)n維的權(quán)重向量，記為w。下圖是損失函數(shù)f(w)的圖示。

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如上圖所示，w*是損失函數(shù)的最小值。在空間內(nèi)任意選擇一個(gè)點(diǎn)A，我們都能計(jì)算得到損失函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)。一階導(dǎo)數(shù)可以表示為一個(gè)向量：

?if(w) = df/dwi (i = 1,…,n)

同樣的，損失函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)可以表示為海森矩陣（ Hessian Matrix ）：

Hi,jf(w) = d2f/dwi·dwj (i,j = 1,…,n)

多變量的連續(xù)可微分函數(shù)的求解問(wèn)題一直被人們廣泛地研究。許多的傳統(tǒng)方法都能被直接用于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的求解。

一維優(yōu)化方法
盡管損失函數(shù)的值需要由多個(gè)參數(shù)決定，但是一維優(yōu)化方法在這里也非常重要。這些方法常常用于訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。

許多訓(xùn)練算法首先計(jì)算得到一個(gè)訓(xùn)練的方向d，以及速率η來(lái)表示損失值在此方向上的變化，f(η)。下圖片展示了這種一維函數(shù)。

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f和η*在η1和η2所在的區(qū)間之內(nèi)。

由此可見(jiàn)，一維優(yōu)化方法就是尋找到某個(gè)給定的一維函數(shù)的最小值。黃金分段法和Brent方法就是其中兩種廣泛應(yīng)用的算法。這兩種算法不斷地縮減最小值的范圍，直到η1和η2兩點(diǎn)之間的距離小于設(shè)定的閾值。

多維優(yōu)化方法
我們把神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)問(wèn)題抽象為尋找參數(shù)向量w*的問(wèn)題，使得損失函數(shù)f在此點(diǎn)取到最小值。假設(shè)我們找到了損失函數(shù)的最小值點(diǎn)，那么就認(rèn)為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)在此處的梯度等于零。

通常情況下，損失函數(shù)屬于非線性函數(shù)，我們很難用訓(xùn)練算法準(zhǔn)確地求得最優(yōu)解。因此，我們嘗試在參數(shù)空間內(nèi)逐步搜索，來(lái)尋找最優(yōu)解。每搜索一步，重新計(jì)算神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的參數(shù)，損失值則相應(yīng)地減小。

我們先隨機(jī)初始化一組模型參數(shù)。接著，每次迭代更新這組參數(shù)，損失函數(shù)值也隨之減小。當(dāng)某個(gè)特定條件或是終止條件得到滿足時(shí)，整個(gè)訓(xùn)練過(guò)程即結(jié)束。

現(xiàn)在我們就來(lái)介紹幾種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的最重要訓(xùn)練算法。

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1. 梯度下降法（Gradient descent）

梯度下降方法是最簡(jiǎn)單的訓(xùn)練算法。它僅需要用到梯度向量的信息，因此屬于一階算法。

我們定義f(wi) = fiand ?f(wi) = gi。算法起始于W0點(diǎn)，然后在第i步沿著di= -gi方向從wi移到wi+1，反復(fù)迭代直到滿足終止條件。梯度下降算法的迭代公式為：

wi+1 = wi- di·ηi, i=0,1,…

參數(shù)η是學(xué)習(xí)率。這個(gè)參數(shù)既可以設(shè)置為固定值，也可以用一維優(yōu)化方法沿著訓(xùn)練的方向逐步更新計(jì)算。人們一般傾向于逐步更新計(jì)算學(xué)習(xí)率，但很多軟件和工具仍舊使用固定的學(xué)習(xí)率。

下圖是梯度下降訓(xùn)練方法的流程圖。如圖所示，參數(shù)的更新分為兩步：第一步計(jì)算梯度下降的方向，第二步計(jì)算合適的學(xué)習(xí)率。

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梯度下降方法有一個(gè)嚴(yán)重的弊端，若函數(shù)的梯度變化如圖所示呈現(xiàn)出細(xì)長(zhǎng)的結(jié)構(gòu)時(shí)，該方法需要進(jìn)行很多次迭代運(yùn)算。而且，盡管梯度下降的方向就是損失函數(shù)值減小最快的方向，但是這并不一定是收斂最快的路徑。下圖描述了此問(wèn)題。

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當(dāng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型非常龐大、包含上千個(gè)參數(shù)時(shí)，梯度下降方法是我們推薦的算法。因?yàn)榇朔椒▋H需要存儲(chǔ)梯度向量（n空間），而不需要存儲(chǔ)海森矩陣（n2空間）