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許多應(yīng)用都要求能夠在頻域內(nèi)開展工作。本文將介紹如何處理FPGA設(shè)計(jì)中的頻域問題。

對許多工程師而言，在頻域中開展工作不如在時(shí)域中開展工作那么自然，可能是因?yàn)轭l率與復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算有關(guān)。但是要充分發(fā)揮賽靈思FPGA解決方案的潛力，您需要在這兩個(gè)域中自由切換。

令人欣慰的是詳細(xì)地掌握頻域并不像您最初想象的那樣令人生畏。不管是您自己設(shè)計(jì)的定制模塊還是市場上現(xiàn)有的IP模塊，都能幫助您輕松轉(zhuǎn)入轉(zhuǎn)出頻域。同時(shí)在頻域中實(shí)現(xiàn)高速處理的方法也不乏其數(shù)。

時(shí)域還是頻域？

工程師既能在時(shí)域中檢驗(yàn)和處理信號，根據(jù)時(shí)間分析信號，也能在頻域中檢驗(yàn)和處理信號，根據(jù)頻率分析信號。項(xiàng)目對工程師的主要要求之一，就是應(yīng)該知道什么時(shí)候應(yīng)該開展哪種分析。

一般在電子系統(tǒng)中，需要考查的信號是一個(gè)不斷變化的電壓、電流或頻率。它可以是傳感器的輸出，也可能是系統(tǒng)其他部分生成的輸出。在時(shí)域中，您可以測量信號的幅度、頻率和周期，以及信號上升或下降時(shí)間等更有意義的參數(shù)。實(shí)驗(yàn)室環(huán)境中觀察時(shí)域信號常用的是示波器或邏輯分析儀。

但是信號的一些參數(shù)體現(xiàn)在頻域內(nèi)。必須在頻率中分析這些參數(shù)，才能解讀其中包含的信息。在頻域中可以識別信號的頻率分量、各自的幅度和每種頻率的相位。由于在頻域中便于開展卷積運(yùn)算，因此在頻域中工作也能大大簡化信號處理。卷積是一種將兩種信號混合成第三種信號的數(shù)學(xué)方法。和時(shí)域分析一樣，如果想要在實(shí)驗(yàn)室環(huán)境中觀察頻域信號，可以使用頻譜分析儀。

根據(jù)信號的類型，如重復(fù)性還是非重復(fù)性、離散還是非離散，有多種方法可用于時(shí)域和頻域之間的變換

對某些應(yīng)用而言在時(shí)域中工作比較合適，例如用于監(jiān)測更大型系統(tǒng)的電壓或溫度的系統(tǒng)。雖然噪聲可能是個(gè)問題，在許多情況下取一定數(shù)量樣本的平均值就可以滿足要求。但對其他應(yīng)用來說，最好是在頻域中開展工作。例如需要從另一信號中過濾某種信號的信號處理應(yīng)用，或是需要將信號與噪聲源分離的信號處理應(yīng)用，最好在頻率中開展分析。

由于采樣是在時(shí)域中完成的，在時(shí)域中工作基本不需要對量化數(shù)字信號進(jìn)行后處理。與此相反，在頻域中開展工作首先要求應(yīng)用將量化數(shù)據(jù)從時(shí)域變換到頻域。同樣，從頻域輸出后處理過的數(shù)據(jù)時(shí)，需要從頻率轉(zhuǎn)回到時(shí)域。

如何進(jìn)行變換？

根據(jù)信號的類型，如重復(fù)性還是非重復(fù)性、離散還是非離散，有多種方法可用于時(shí)域和頻域之間的變換，包括傅里葉級數(shù)、傅里葉變換和Z變換。尤其是在電子信號處理和FPGA應(yīng)用中，最常用到的變換是離散傅里葉變換（DFT），傅里葉變換中的一種。工程師使用DFT分析具有周期性和離散性的信號，即由一定數(shù)量均勻分布在采樣頻率中的n位樣本組成的信號。在許多應(yīng)用中這種信號一般來自系統(tǒng)內(nèi)的ADC。

簡單地說，DFT的工作原理就是把輸入信號分解成代表信號正弦分量和余弦分量的兩個(gè)輸出信號。因此對由N個(gè)樣本組成的時(shí)域序列，DFT會(huì)返回兩組N/2+1個(gè)余弦波樣本和正弦波樣本，分別被稱為實(shí)分量和虛分量（圖1）。實(shí)樣本和虛樣本的寬度為n位輸入信號寬度的n/2。

圖1 - 時(shí)域中的n位被變換為頻域中n/2實(shí)位和n/2虛位

計(jì)算DFT的算法十分簡明，如下式所示：

其中，x代表時(shí)域信號；i的取值為0到N-1；k的取值為0到N/2。這種方法被稱為關(guān)聯(lián)法，其功能是將輸入信號與對應(yīng)迭代的正弦波或余弦波相乘，以確定其幅度。

當(dāng)然，您可能想要在應(yīng)用中的某點(diǎn)從頻域變換回時(shí)域。為此可以使用綜合公式，它將實(shí)波形和虛波形結(jié)合起來，重建時(shí)域信號，即：

但ReX和ImX是正弦波和余弦波的縮放結(jié)果，因此需要進(jìn)行縮放。除Rex[0]和Rex[N/2]之外的所有情況，ReX和ImX的值均為ReX[k]或ImX[k]除以N/2。對Rex[0]和Rex[N/2]，則除以N。出于明顯的理由，這種運(yùn)算被稱為傅里葉反變換（IDFT）。

通過探討確定DFT和IDFT所使用的算法，可能有助于了解如何加以利用這些算法。

您可以使用Octave、MATLAB乃至Excel對所采集的數(shù)據(jù)進(jìn)行DFT計(jì)算。許多實(shí)驗(yàn)室工具，如示波器，也能根據(jù)需要執(zhí)行DFT計(jì)算。

不過需要指出的是上述的DFT和IDFT被稱為實(shí)DFT和實(shí)IDFT，因?yàn)檩斎氲氖菍?shí)數(shù)而非復(fù)數(shù)。很快就會(huì)清楚為何要了解這一點(diǎn)。

需要進(jìn)行變換的地方

從電信到圖像處理、雷達(dá)和聲納，難以想象有比傅里葉變換更強(qiáng)大、更適合并可實(shí)現(xiàn)FPGA中的分析技術(shù)。實(shí)際上DFT是最常用FPGA應(yīng)用之一（即，生產(chǎn)有限輸入響應(yīng)（FIR）濾波器系數(shù)）的基礎(chǔ)（參閱賽靈思中國通訊第43期《數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)詳情》）。

但其用途不局限于濾波。DFT和IDFT還可用于電信處理中，用于執(zhí)行電信通道的信道化和重組。在頻譜監(jiān)測應(yīng)用中，它們可用來判斷監(jiān)測帶寬內(nèi)的頻率構(gòu)成。在圖像處理中，它們用于處理圖像卷積，供濾波器內(nèi)核開展圖像模式識別等操作。所有這些應(yīng)用在實(shí)現(xiàn)過程中一般使用比上文介紹的更有效的算法來計(jì)算DFT。

總而言之，了解DFT并將其實(shí)現(xiàn)在FPGA中是每個(gè)FPGA開發(fā)人員的必備技能。